Selasa, 29 Mei 2012
STATISTIKA
Dosen Pengampu : Bagus Ardy Saputro
Disusun Oleh :
Anisa Amalia (11310083)
2B
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKA
DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI SEMARANG
2012
KATA PENGANTAR
Puji syukur penyusun ucapkan Atas kehadirat Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penyusunan tugas ini dapat diselesaikan.
Tugas ini disusun untuk diajukan sebagai tugas mata kuliah Statistika dengan judul “STATISTIKA” di Istitut Keguruan dan Ilmu Pendidikan PGRI Semarang.
Terima kasih penyusun sampaikan kepada Bapak Bagus Ardy Saputro, selaku dosen mata kuliah Statistika.
Demikianlah tugas ini disusun semoga bermanfaat, agar dapat memenuhi tugas mata kuliah Statistika.
Semarang, Mei 2012
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
Cover………………………………………………………………………………........ i
Kata Pengantar…………………………………………………………………………. ii
Daftar Isi……………………………………………………………………………….. iii
Isi :
Pengertian Statistika…………………………………………………………….. 2
Jenis-jenis Data dalam Statistika……………………………………………….. 3
Cara Pengumpulan Data……………………………………………………….. 4
Bentuk-bentuk Penyajian Data………………………………………………… 4
Ukuran Data…………………………………………………………………….. 5
Ukuran Penyebaran Data………………………………………………………. 6
Evaluasi Soal-Soal............................................................................................................... 32
Daftar Isi.............................................................................................................................. 33
iii
STATISTIKA
Jumlah penduduk yang terus menerus bertambah setiap tahun membuat pemerintah semakin sulit untuk mengawasi dan memperhatikan penduduk secara detail. Misalnya pemerintah akian melakukan penelitian mengenai usia wanita ketika menikah di provinsi di seluruh Indonesia. Jika kita membayangkan jumlah satu provinsi saja jumlah wanita yang menikah cukup banyak. Jadi, tidak mungkin Pemerintah melibatkan semua wanita di Indonesia yang telah menikah. Selain biaya yang dikeluarkan cukup besar, waktu yang dibutuhkan untuk penelitian pun cukup lama.
Untuk menghindari hal tersebut, kita menggunakan statistika. Dengan statistic penelitian dapat dilakukan dengan lebih mudah. Hal ini disebabkan tidak perlu melibatkan seluruh wanita yang telah menikah di Indonesia, tetapi cukup melibatka beberapa provinsi yang dipilih secara acak. Dari setiap provinsi yang terpilih secara acak, dipilih lagi secara acak wanita yang telah menikah sebanyak yang kita inginkan. Wanita yang terpilih kemudian dilibatkan dalam penelitian dan disebut sebagai sampel acak. Wanita yang terpilih akan mewakili semua wanita yang telah menikah di seluruh Indonesia.
Untuk mengolah data yang didapat dari hasil penelitian, akan lebih mudah jikamenggunakan statistika. Kita dapat mengetahui rata-rata usia wanita ketika menikah, kita juga dapat mengetahui usia berapa wanita palinga banyak menikah. Didalam statistika dipelajari pula penyebaran data diperoleh dalam suatu penelitian.
1
Pengertian Statistika dan Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
Pada pertengahan abad ke 20, pemakaian statistika mengalami kemajuan yang sangat pesat dengan diperkenalkannya anlisis variansi dalam literature Statistika oleh R. Fisher.
Pada masa kini dengan pekembangan teori peluang kita dapat menggunakan metode statistika dalam bidang reset serta bidang pengetahuan lainya seperti: biologi, ekonomi, industry, dan perdagangan.
Statistik dan Statistika sebenarnya tidak jauh berbeda, hanya saja
Statistik yaitu suatu data yang menyatakan kumpulan data dalam bilangan atau non-bilangan dalam bentuk tabel atau diagram untuk melukisakan suatu persoalan
Statistika yaitu melakukan pengumpulan, pengelolahan, penganalisisan, dan penarikan kesimpulan berdasarkan pengumpulan dan penganalisisan data.
Dalam statistika dikenal pula beberapa istilah yang sering digunakan yaitu:
Populasi yaitu keseluruhan dari semua data yang akan diteiti
Sampel yaitu keseluruhan dari obyek data yang ada tetapi hanya diambil sebagian saja untuk penelitian
Datum yaitu setiap keterangan yang diperoleh dari semua penelitian
Data yaitu sekumpulan datum
2
Jenis-jenis Data Dalam Statistika
Dalam dunia statistika dikenal berbagai jenis data yang biasa muncul dalam statistika, yaitu:
Data cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah, membilang dan menyebut banyaknya obyek
Data ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur besarnya obyek
Data yang diperoleh berdasarkan keteranganya
Data kauntitatif yaitu keterangan berupa angka. Data ini terbagi menjadi 2 variabel, yaitu:
Variable kontinui: hasil dari pengukuran
Variable diskrit:merupakan data diskrit atau menghitung
Data kaulitatif yaitu keterangan yang berisi bukan angka. Data ini terbagi menjadi 2 data, yaitu:
Data intern:data yang berasal dari factor dalam
Data eksteren: data yang berasal karena factor luar
Contoh:
Nomor Petak Sawah Luas(m^2) Berat padi gabah kering(kg) Kkualitas padi gabah kering
1 2400 1800 Sedang
2 2200 1750 Baik
3 2700 2050 Sangat baik
4 4500 3460 Kurang
5 200 1520 Sedang
6 1700 1290 Baik
7 3100 2360 Kurang
8 3500 2740 Baik
Data kkualitatif ditunjukan dengan keadaan gabah kering yang dinyatakan dengan kurang, sedang, baik dan sangat baik.
Data kuantitatif ditunjukan dengan banyak petak sawah untuk masing-masing desadi llima desa yang ditempatkan untuk penelitian.
3
Cara Pengumpulan Data
Sebelum mempelajari cara pengumpulan data, lebih baik kita mengetahui fase yang ada dalam statistika, yaitu:
Statistika induktif yaitu statistika yang berhubungan dengan kondisi dimana kesimpulan diambil
Statistika Deskriptif yaitu statistika yang hanya melukiskan atau menganalisis kelompok data yang diberikan tanpa membuat kesimpulan
Pengumpulan data dalam statistika dapat dilakukan dengan cara mengadakan penelitian, mengambil dan menggunakan sampel atau populasi, dan mengadakan angket.
Metode yang dilakukan bisa berupa:
Sensus, metode yang diakukan dengan semua anggota termasuk sampel dikenai penelitian
Sampling metode yang dilakukan dengan mengambil sebagian populasi yang diteliti
Angket metode dengan pembuatan pertanyaan untuk diajukan kepada sasaran penelitian
Teknik pengumpulan data
Angket
Angket adalah teknik pengumpulan data dengan menyerahkan atau mengirimkan daftar pertanyaan untuk diiisi sendiri oleh responden. Responden adalah orang yang memberikan tanggapan atas angket yang diajukan.
Keuntungan dari teknik angket adalah:
Angket dapat menjangkau sampel dalam jumlah besar karena dapat dikirimkan melalui pos.
Biaya yang diperlukan untuk membuat angket relatif murah.
Angket tidak terlalu menggangu respoden karena pengisiannya ditentukan oleh respoden sendiri sesuai dengan kesedian waktunya.
4
Kerugian teknik angket:
Jika angket dikirimkan melalui pos, maka persentase yang dikembalikan relatuf rendah.
Angket tidak dapat digunkan untuk respoden yang kurang bisa membaca dan menulis.
Pertanyaan-pertanyaan dalam angket dapat ditafsirkan salah dan tidak ada kesempatan untuk mendapat penjelasan.
Wawancara
Wawancara adalah pengumpulan data dengan mengajukan pertanyaan secara langsung oleh pewawancara kepada responden, dan jawaban-jawaban responden dicatat atau direkam dengan alat perekam.
Keuntungan wawancara adalah:
Wawancara dapat digunakan pada responden yang tidak bisa membaca dan menulis.
Jika ada pertanyaan yang belum dipahami, pewawancara dapat segera menjelaskannya.
Wawancara dapat mengecek kebenaran jawaban responden denagn mengajukan pertanyaan pembanding, atau dengan melihat wajah atau gerak-gerik responden.
Kerugian wawancara adalah:
Wawancara memerlukan biaya yang sangat untuk perjalanan dan uang harian pengumpulan data.
Wawancara hanya dapat menjangkau jumalh responden yang lebih kecil.
Kehadiran pewawancara mungkin menggangu responden.
Observasi
Observasi atau pengamatan kegiatan adalah setiap kegiatan untuk melakukan pengukuran, pengamatan dengan menggunakan indera penglihatan yang berarti tidak mengjukan pertanyaan-pertanyaan.
Keuntungan observasi adalah:
Data yang diperoleh adalah data yang segar.
Keabsahan alat ukur dapat diketahui secara langsung.
Kerugian observasi adalah:
Untuk memperoleh data y ng diharapkan, maka pengamat harus menunggu dan mengamati sampai tingkah laku yang diharapkan terjadi.
Beberapa tingkah laku, bahkan bisa membahayakan jika diamati.
5
Berdasarkan keterlibatan pengamatan dalam kegiatan-kegiatan orang yang diamati, observasi dapat dibedakan menjadi:
Observasi partisipan ( partcipant observation): pengamat ikut serta dalam kegiatan-kegiatan yang dilakukan oleh subjek yang diteliti atau yang diamati.
Observasi tak partisipasi (nonparticipant observation): pengamat berada di luar subjek yang diamati dan tidak ikut dalam kegiatan-kegiatan yang mereka lakukan.
Berdasarkan cara pengamatan yang dilakukan, observaasi juga dibedakan menjadi dua bagian:
Observasi tak berstruktur: pengamat tidak membawa catatan tingkah laku apa saja yang secara khusus akan diamati.
Observasi berstruktur: peneliti memusatkan perhatian pada tingkah laku tertentu sehingga dapat dibuat pedoman tetang tingkah laku apa saja yang harus diamati.
Study dokumentasi
Studi dokumentasi merupakan teknik pengumpulan data yang tidak langsung ditujukan kepada subjek penelitian.
Dokumen dapat dibedakan menjadikan dokumena primer ( dokumen yang ditullis oleh orang yang langsung mengalami suatau peristiwa), dan dokumen sekunder (jika peristiwa dilaporkan kepada orang lain yang selanjutnya ditulis oleh orang ini) contohnya otobiografi.
Keuntungan studi dokumentasi adalah:
Untuk subjek penelitian yang sukar, studi dokumentasi dapat memberikan jalan untuk melakukan penelitian
Tak kreatif. Karena studi dokumentasi tidak dilakukan secara langsung dengan orang, maka data yang diperlukan tidak terpengaruh oleh kehadiran peneliti atau pengumpulan data.
Analisis longitudinal, menjangkau jauh ke masa lalu
Besar sampel. Dengan dokumen-dokumen yang tersedia, teknik ini memungkinkan untuk mengambil sampel yang lebih besar karena biaya yang diperlukan relatif kecil.
6
Kerugian studi dokumentasi adalah:
Bias, karena dokumen yang dibuat tidak untuk kep[erluan penelitian, maka data yang tersedia mungkin bias
Tersedia secra selektif. Tidak semua dokumen dipelihara untuk dapat dibaca ulang oleh orang lain.
Tidak lengkap. Karena tujuan penulisan dokumen berbeda dengan tujuan penelitian.
Format yang tidak baku. Sejalan dengan maksud dan tujuan penulisan dokumen yang berbeda dengan tujuan penelitian, maka formatnya juga dapat bermacam-macam sehingga bisa mempersulit pengumpulan data.
Sebagaimana metode historik, dalam studi dokumentasi perlu dilakukan kritik tehadap sumber data, baik kritik internal maupun kritik eksternal.
Bentuk-Bentuk Penyajian Data Dalam Statistika
Dengan Daftar
Daftar Baris Kolom
Tabel data, disingkat tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori-kategori tertentu, dalam suatu daftar. Dalam tabel, data disusun dengan cara alfabetis, geografis, menurut besarnya angka, historis, atau menurut kelas-kelas yang lazim.
Sebuah tabel memuat bagian-bagian sebagai berikut :
Kepala tabel
Kepala tabel memuat :
- Nomor tabel
- Judul tabel (mungkin termasuk tahun dan/atau unit)
Leher tabel
Leher tabel memuat keterangan atau judul kolom (mungkin termasuk unit) yang harus ditulis singkat dan jelas
7
Badan tabel
Badan tabel memuat data (mungkin termasuk tahun)
Kaki tabel
Kaki tabel memuat :
- Keterangan-keterangan tambahan
- Sumber data, yaitu sumber yang menjelaskan dari mana data itu dikutip atau diambil
Contoh :
Dalam penyusunan tabel, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut :
Judul tabel dibuat singkat dan jelas. Bila perlu diberikan keterangan yang dicantumkan di kaki tabel
Judul atau kepala kolom dibuat ringkas. Jika ada penjumlahan data dalam baris dimuat pada kolom terakhir. Apabila jumlah kolom banyak, dapat diberi nomor. Pencatuman unit ukuran tidak boleh dilupakan.
Jika dianggap perlu, data dapat dikelompok-kelompokkan. Kelompok data yang akan dibandingkan, diletakkan berdekatan.Penjumlahan data dalam kolom dimuat pada baris paling bawah.
Keterangan di bawah dimuat untuk memberi penjelasan mengenai judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel
Sumber data dicantumkan untuk mengetahui dari mana data yang bersangkutan diperoleh dan jika perlu dapat diadakan pengecekan dari sumber aslinya. Data untuk bidang tertentu dapat diperoleh dari Biro statistik, Bank Indonesia, Departemen Keuangan.
Contoh bentuk baris kolom
Hasil Pengamatan Banyaknya Kendaraan yang melintasi Tikungan setiap menit
Banyak kendaraan 0 1 2 3 4 5 6 7 8
peluang 0,01 0,05 0,10 0,28 0,22 0,18 0,08 0,05 0,03
8
Daftar Kontingensi
Adalah tabel yang menunjukkan atau memuat data sesuai dengan rinciannya. Apabila bagian baris tabel berisikan baris dan bagian kolom tabel berisikan kolom maka didapatkan tabel kontingensi berukuran. Yang dimaksud disini adalah jumlah bais dan kolom pada data yang disajikan lewat tabel.
Contoh :
Tabel Banyaknya Murid Sekolah di Daerah XYZ
Menurut Tingkat Sekolah dan Jenis Kelamin Tahun 2000
Jenis Kelamin SD SMP SMA Jumlah
Laki-laki 4758 2795 1459 9012
Perempuan 4032 2116 1256 7404
Jumlah 8790 4911 2715 16416
Dari data diatas terlihat bahwa daftar Kontinensinya adalah 2X3 ( 2 baris X 3 kolom ).
Daftar Distribusi Frekuensi
Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika
dari 40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi sbb:
Langkah-langkahnya sbb:
Mencari Rentang=data terbesar-data terkecil
= 80-65
=15
Banyaknya kelas=1+3,3 log n
= 1+3,3 log 40
=1+3,3 1,608
=1+5,286
=6,286
Interval kelas
P=rentang/(banyak kelas)
=15/6,286
=2,38
9
Dari data diatas dapat dibuat tabel sbb:
Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi
bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut
Interval Kelas
Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas
saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.
65 – 67 → Interval kelas pertama
68 – 70 → Interval kelas kedua
71 – 73 → Interval kelas ketiga
74 – 76 → Interval kelas keempat
77 – 79 → Interval kelas kelima
80 – 82 → Interval kelas keenam
Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
Titik Tengah
Untuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus:
Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)
Dari tabel di atas: titik tengah kelas pertama = 1/2(67 + 65) = 66
titik tengah kedua = 1/2(70 + 68) = 69
dan seterusnya.
Dengan Diagram
Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah. Perhatikan contoh berikut ini.
10
Contoh soal
Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah
sebagai berikut.
Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.
Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.
11
Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
12
Contoh soal
Ranah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan seperti tabel berikut.
Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.
Penyelesaian
Sebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut.
CPNS/Honda/GTT = 5/100 x 360° = 18°
Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 9/100 x 360° = 32,4°
Masalah lingkungan/kebersihan = 6/100 x 360° = 21,6
Kesehatan/PKMS/Askeskin = 3/100 x 360° = 10,8
Lalu lintas/penertiban jalan = 6/100 x 360° = 21,6°
Revitalisasi/budaya Jawa = 20/100 x 360° = 72°
Parkir = 3/100 x 360° = 10,8°
Pekat/penipuan/preman = 7/100 x 360° = 25,2°
Persis/olahraga = 10/100 x 360° = 36°
PKL/Bangunan liar = 2/100 x 360° = 7,2°
PLN dan PDAM = 2/100 x 360° = 7,2°
Provider HP = 7/100 x 360° = 25,2°
Tayangan TV/radio/koran = 3/100 x 360° = 10,8°
Lain-lain = 17/100 x 360° = 61,2°
13
Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.
Diagram Peta
Diagram peta (diagram kartogram) yaitu diagram yang melukiskan fenomena atau keadaan dihubungkan dengan tempat kejadian itu berada. Teknik pembuatannya digunakan peta geografis sebagai dasar untuk menerangkan data dan fakta yang terjadi. Salah astu contoh ketika kita melihat buku peta bumi yang terdapat peta daerah/pulau dengan mencantumkan gambar-gambar kelapa, jagung, kuda, sapi ,dan lain-lain
Diagram Pencar
Diagram pencar atau diagram titik atau diagram sebaran ialah diagram yang menunjukkan gugusan titik – titik setelah garis koordinat sebagai penghubung dihapus. Biasanya diagram ini digunakan untuk menggambarkan titik data korelasi atau regresi yang terdiri dari variabel bebas dan variabel terikat. Untuk kumpulan data yang terdiri atas dua variable dengan nilai kuantitatif, diagramnya dapat dibuat dalam sistem sumbu koordinat dan gambarnya akan merupakan kumpulan titik-titik yang terpancar.Tahapan-tahapan ini menerangkan setelah peneliti menyelesaikan analisis datanya dengan cermat, kemudian langkah selanjutnya peneliti menginterprestasikan hasil analisisnya. Akhirnya peneliti menarik suatu kesimpulan yang berisikan intisari dari seluruh rangkaian kegiatan penelitian dan membuat rekomendasinya. Menginterprestasikan hasil analisis perlu diperhatikan hal-hal antara lain : interprestasi tidak melenceng dari hasil analisis, interprestasi harus masih dalam batas kerangka penelitian, dan secara etis penelitian rela mengemukakan kesulitan dan hambatan-hambatan sewaktudalam penelitian
14
Dengan Grafik
HISTOGRAM
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan
sebagai berikut.
POLIGON
Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnyadihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.
15
contoh soal:
Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi
bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.
Penyelesaian
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di atas.
a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.
b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.
16
OGIVE
Ogive ialah distribusi frekuensi kumulatif yang menggambarkan diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar atau eksponensial.
KARTOGRAM
Kartogram atau peta statistik adalah grafik data berupa peta yang menunjukkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil pertambangan, dan sebagainya.
UKURAN DATA
UKURAN PEMUSATAN DATA
Nilai statistic yang menggambarkan keadaan suatu data antara lain mean, modus dan median adalah ukuran pemusatan data. Karena bentuk penyajian data terdiri dari penyajian data tunggal dan penyajian data kelompok maka penyajian rumus-rumus ukuran pemusatan data pun dibedakan menjadi 2, sbb:
17
UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL
Mean yaitu perbandingan semua nilai data dengan banyak data
Dirumuskan sbb: rataan=(jumlah semua nilai datum)/(banyaknya datum)
x ̅=(∑_(i=1)^n▒x_i )/n
Modus yaitu nilai data yang paling sering muncul atau mempunyai frekuensi terbesar
Median yaitu suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil samapi yang terbesar.
Jika ukuran data n ganjil maka mediannya nilai data yang ditegah
Me=1/2 n
Jika ukuran data n genap maka
Me=1/2(x_(n/2)+x_(n/2+1))
Contoh soal:
Hitunglah rataan dari data 4,5,6,7,8,10,10,10
Jawab: ∑_(i=1)^8▒〖x_i=4+5+6+7+8+10+10+10=60〗
Banyaknya nilai yaitu n=8
Maka x ̅=1/n ∑_(i=1)^8▒〖x_i=1/8 (60)=7,5〗
Nilai rata-rata Ujian Matematika dari 39 mahasiswa adalah 45 Jikia nilai Opick salah seorang mahasiswa lainya digabungkan dengan kelomppok tersebut maka rata-ratanya menjadi 46. Ini berarti nilai Ujian Opick…
18
Jawab: misalkan n_1=39,(x_1 ) ̅=45,dan x ̅ = 46
Nilai Ujian Opick=x
x ̅=1/n ∑_(i=1)^(n_1)▒〖X_i⇔〗 45= 1/39 ∑_(i=1)^39▒X_I
∑_(I=1)^39▒〖X_i=45 x 39〗=1755,jumlah nilai 39 mahasiswa adalah 1,755
x ̅=(∑_(i=1)^39▒〖X_i-x〗)/(n_1+1)
⇔46=(1755+x)/(39+1)
⇔1755+x=46(39+1)
⇔ x=(46 x40)-1755
⇔ x=85
Jadi nilai Ujian OPick adalah 85
Suatu data 3,4,4,5,5,6,6,6,7,7 modusnya adalah
Jawab: modus adalah nilai yang sring muncul maka dari dat diatas modusnya 6
Tentukan median dari data 12,11,7,8,6,13,9,10
Jawab: dari data diatas diurutkan terlebih dahulu menjadi 6,7,8,9,10,11,12,13, median yaitu nilai tengah dari semua data, karena jumlah data 8 maka nili tengahnya antara data ke-4 dan data ke-5 yaitu antara 9 dan 10 maka medianya 1/2 (9+10)=9,5
Dari data 8,9,7,8,5,6,7,9,10,9 mediannya adalah
Jawab:dari data diatas diurutkan menjadi 5,6,7,7,8,8,9,9,9,9,9,10 diketahui jumlah data adalah 11, karena n ganjil maka mediannya X_((n+1)/2) = x_((11+1)/2=) X_6
Jadi mediannya adalah data ke yaitu 8
19
UKURAN PEMUSATAN DATA KELOMPOK
Mean
Apabila nilai data kuantitatif dinyatakan dengan x_1,x_2,x_3,….,x_n dan setiap datum mempunyai frekuensi f_1,f_2,f_3,…,f_n maka rataan hitungnya ditentukan dengan:
x ̅=(∑_(i=1)^n▒〖f_i x_i 〗)/(∑_(i=1)^n▒f_i )
Masih terdapat dua cara lagi yaitu dengan cara simpangan rataan dan cara pengkodean
Cara simpangan rataan
x ̅=(x_S ) ̅+(∑_(i=1)^k▒f_i d_i)/(∑_(i=1)^k▒f_i )
Keterangan: (x_s ) ̅=rataan sementara
d_(i=) simpangan x_i terhadap (x_S ) ̅
d_i=x_i-x ̅_S
Cara pengkodean
x ̅=(x_S ) ̅+((∑_(i=1)^k▒f_i u_i)/(∑_(i=1)^k▒f_i ))c
Keterangan: c=panjang kelas interval
u_i=kode
u_i=(x_i-(x_S ) ̅)/c
20
Modus
M_O=t_b+(d_1/(d_1+d_2 ))c
Keterangan: t_b= tepi bawah kelas modus
d_1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d_2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Median
M_e=t_b+((1/2 n-f_k)/f)c
Keterangan: t_b= tepi bawah kelas median
n= banyaknya data
f_k= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f= frekuensi kelas median
Contoh soal:
Tentukan rataan dari data yang disajikan pada daftar distribusi frekuensi tersebut:
Hasil pengukuran (mm) Titik tengah
x_i Frekuensi
f_i f_i.x_i
119-127 123 3 369
128-136 132 6 792
137-145 141 10 1410
146-154 150 11 1650
155-163 159 5 795
164-172 168 3 504
173-181 177 2 354
∑▒〖f_i=n=40〗 ∑▒〖f_i x_i=5874〗
Jadi rataan dari data diatas adalah x ̅= (∑▒f_i x_i)/(∑▒f_i )= 5874/40=146,85
21
Dari tabel dibawah ini cari modusnya
Nilai Titik tengah
x_i Frekuensi
f_i
55-59 57 6
60-64 62 8
65-69 67 16
70-74 72 10
75-79 77 6
80-84 82 4
Jawab: - kelas modusnya 65-69 (karena mamiliki frekuensi terbesar yaitu 16), tepi bawahnya L=64,5 , tepi atasnya U=69,5 seinggga panjang kelasnya c=U-L = 59,5-64,5 = 5
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d_1=16-8=8 dan selisih kelas modus denga kelas sesudahnya d_2= 16-10 = 6
M_O=t_b+(d_1/(d_1+d_2 ))c
= 64,5 +(8/(8-6))5
=67,36 (selisih sampai 2 angka dibelakang koma)
Dari daftar dibawah carilah mediannya
Nilai f_i
31-40 1
41-50 2
51-60 5
61-70 15
71-80 25
81-90 20
91-100 12
Jumlah 80
Setengah dari seluruh data ad 40 buah. Jadi mediannya dapat dicari dengan:
M_e=t_b+((1/2 n-f_k)/f)c
= 70,5 + ((40-23)/25) 10
=77,3
22
UKURAN LETAK DATA
KUARTIL yaitu nilai yang membagi data manjadi empat bagian sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Data tunggal
Untuk statistika jajaran dengan ukuran data n>4 dapat ditentukan 3 buah nilai yang membagi statistic jajaran itu menjadi 4 baagian yang sama, yaitu:
Kuartil pertama(Q1), mempartisi data menjadi 1⁄4 bagian
Kuaartil kedua(Q2), mempartisi data menjadi 1⁄2 bagian
Kuartil ketiga(Q3) mempartisi data menjadi 3⁄4 bagian
x_1 Q_1 Q_2 Q_3 x_n
Contoh: tentukan kuartil pertama, kuartil kedua dan kuartil ketga dari data: 1,3,6,9,14,18,21
Jawab: x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 3 6 9 14 18 21
Ukuran data n = 7 (ganjil) sehingga
Kuartil pertama = Q_1=X_2=3
Kuartil kedua = Q_2= X_((7+1)/2)= x_4=9
Kuartil ketiga = Q_3= x_6=18
Data kelompok
Kuartil pertama= Q_1=L_1+((1/4 n-〖(∑▒f)〗_1)/f_1 )c
Dengan L_1= tepi bawah kelas yang memuat kuartil pertama
〖(∑▒f)〗_(1=) jumlah frekuensi sebelum kelas pertama
f_1= frekuensi kelas yang memuat kuartil kelas pertama
23
Kuartil kedua= Q_2=L_2+((1/2 n-〖(∑▒f)〗_2)/f_2 )c
Dengan L_2= tepi bawah kelas yang memuat kuartil kedua
〖(∑▒f)〗_(2=) jumlah frekuensi sebelum kelas kedua
f_2= frekuensi kelas yang memuat kuartil kelas kedua
Kuartil ketiga=〖 Q〗_3=L_3+((3/4 n-〖(∑▒f)〗_3)/f_3 )c
Dengan L_3= tepi bawah kelas yang memuat kuartil ketiga
〖(∑▒f)〗_(3=) jumlah frekuensi sebelum kelas ketiga
f_3= frekuensi kelas yang memuat kuartil kelas ketiga
Contoh soal:
Tentukan nilai kuartil pertama,kuartil kedua dan kuartil ketiga untuk data berkelompok dibawah ini:
Hasil pngukuran
(mm) Titik tengah
x_i Frekuensi
f_i
119-127 123 3
128-136 132 6
137-145 141 10
146-154 150 9
155-163 159 7
164-172 168 3
173-181 177 2
1/4 n = 1/4 (40) = 10 , L_1=136,5 , (∑▒F)_I=9 ,f_i=10 dan c=9
Jadi kuartil pertama adalah :
Q_1=L_1+((1/4 n-〖(∑▒f)〗_1)/f_1 )c
= 136,5 +((10-9)/10)9
= 137,4
24
1/2 n = 1/2 (40) = 20 , L_2=145,5 , (∑▒F)_2=19 ,f_2=9 dan c=9
Jadi kuartil kedua adalah :
Q_2=L_2+((1/2 n-〖(∑▒f)〗_2)/f_2 )c
= 145,5 +((20-9)/9)9
= 146,5
3/4 n = 3/4 (40) = 30 , L_3=154,5 , (∑▒F)_3=28 ,f_3=7 dan c=9
Jadi kuartil ketiga adalah :
Q_3=L_3+((3/4 n-〖(∑▒f)〗_3)/f_3 )c
= 154,5 +((30-28)/7)9
= 157,07
DESIL yaitu nilai yan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak setelah diurutkan dari yang terkeci hingga terbesar
Untuk data tunggal
D_i terletak pada nilai ke- (i(n+1))/10
Setelah itu cari desil dengan D_k=x_k+d(x_(k+1)-x_k)
Untuk data kelompok
D_i=t_b+((i/10 n-f_k)/f)c
Keterangan: D_i= desil ke i
t_b= tepi bawah kelas D_i
n= ukuran data
f_k= frekuensi kumulatif sebelum kelas D_i
f= frekuensi kelas yang memuat D_i
c= panjang kelas
25
Contoh soal:
Diketahui suatu dat 2,9 ; 3,5 ; 5,1 ; 5,7 ; 2,1 ; 4,0 ; 4,7 ; 2,5 ; 2,4 ; 5,3 ; 4,8 ; 4,3 ; 2,7 ; 3,4 ; 3,7 tentukan desil pertama dan desil kelima
Jawab: pertama-tama urutkan data terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar sbb: 2,1 2,4 2,5 2,7 2,9 3,4 3,5 3,7 4,0 4,3 4,7 4,8 5,1 5,3 5,7
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7 x_8 x_9 x_10 x_11 x_12 x_13 x_14 x_15
Perhatikan bahwa jumah semua data adalah n=15
Desil pertama terletak pada nilai ke- (i(n+1))/10
- (1(15+1))/10= 1,6
Perhatikan nilai urutan yang besarnya 1,6 nilai ini terletak anatara 1 dan 2 sehngga k=1 dan k+1=2 bagian desimalnya d=0,6
D_k=x_k+d(x_(k+1)-x_k )
D_1=x_1+d(x_2-x_1 )=2,1+0,6(2,4-2,1)=2,28
Jadi desil pertamanya adalah 2,28
Desil kelima terletak pada nilai urutan ke- (i(n+1))/10
(5(15+1))/10=8
Oleh karena nilai urutan ke-5 adalah 8 merupkan bilangan asli maka tidak perlu interpolasi. Jadi Desil ke-5 adalah nilai x_8=3,7
Hasil pengukuran tinggi badan 100 mahasiswa adalah sbb, carilah desil ke-4 nya
Tinggi badan
(cm) Frekuensi
f
150-154 6
155-159 19
160-164 40
165-169 27
170-174 8
4/10 n=4/10 (100)=40,t_b=159,5,〖(∑▒f)〗_4=25,f_4=40,c=5
D_4=159,5+((40-25)/40)5=161,375
26
PERSENTIL
Untuk Data Tunggal
Letak P_i=data ke-(i(n+1))/100
Untuk Data Kelompok
P_i=b+p((i/100 n-F)/f)
Keterangan: b= batas bawah kelas P_I, ialah kelas interval P_i terletak
P= panjang kelas P_i
F= jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecildaripada tanda kelas P_i
f= frekuensi kelas P_i
UKURAN PENYEBARAN DATA
Ukuran Penyebaran Data Tunggal
Rentangan
Rentangan atau jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil
J=x_(max-) x_min
Hamparan
Hamparan dengan symbol H yaitu selisih antara Kuartil ke tiga dengan kuartil pertama
H=Q_3-Q_1
Simpangan Kuartil
Nama lainya yaitu Jaangkauan Semi Antar Kuartil yaitu setengah kali panjang hamparan
Q_d=1/2(Q_3-Q_1)
Simpangan Rata-rata menyatakan jarak rata-rata suatu data terhadap rataannya
SR=1/n ∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ |
Keterangan: n= banyak data
x_i= nilai data ke-i
x ̅= rataan hitung
27
Ragam menyatakan rata-rata kuadrat jarak suatu data teerhadap rataannya
S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2
Simpangan Baku yaitu standar deviasi suatu data
S=√(S^2 )= √(1/n ∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 )
Contoh soal:
Dari hasil pengukuran terhadap 14 bola dengan diameter sama adalah sbb:
7,0 ; 5,6 ; 6,1 ; 7,2 ; 6,9 ; 6,7 ; 5,4 ; 6,0 ; 6,5 ; 5,7 ; 6,2 ; 6,3 ; 5,9 ; 6,6 tentukan:
Rentang
Rentang antar kuartil
Simpangan kuarrtil
Jawab: urutkan data diatas sesuai urutan dari yang terkecil sampai terbesar sbb:
5,4 ; 5,6 ; 5,7 ; 5,9 ; 6,0 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,5 ; 6,6 ; 6,7 ; 6,9 ; 7,0 7,2
Rentagnya : J=x_(max-) x_min
J=7,2-5,4=1,8
Rentang antar kuartil H=Q_3-Q_1
H=6,7-5,9=0,8
Simpangan kuartil Q_d=1/2(Q_3-Q_1)
Q_d=1/2 (6,7-5,9)
= 1/2 0,8
= 0,4
Tentukan ragam dan simpangan baku untuk data:
10, 44, 56, 62, 65, 67, 72, 76 tentukan ragam dan simpangan bakunya
28
Jawab: nilai rataan nya adalah x ̅=1/7 ∑_(i=1)^7▒x_i
= 1/7 (10+44+56+62+65+72+76)=55
Jumlah kuadrat setiap simpanganya :
∑_(i=1)^7▒〖〖(x_i-x ̅)〗^2 〖=(x_1-x ̅)〗^2+〖(x_2-x ̅)〗^2+〖(x_3-x ̅)〗^2+〖(x_4-x ̅)〗^2+〖(x_5-x ̅)〗^2+〖(x_6-x ̅)〗^2+〖(x_7-x ̅)〗^2 〗
〖=(10-55)〗^2+〖(44-55)〗^2+〖(56-55)〗^2+〖(62-55)〗^2+〖(65-55)〗^2+〖(72-55)〗^2+〖(76-55)〗^2
=3026
Ragam S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2
S^2=1/7 ∑_(i=1)^7▒〖(x_i-x ̅)〗^2 =1/7 (3026)=432,29
Simpangan baku S=√(S^2 )= √(1/n ∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 )
S=√(S^2 )
S= √3026
S = 20,79
Ukuran Penyebaran Data Kelompok
Rentangan Antar Kuartil
Rentang Antar Kuartil atau Jangkauan Antar Kuartil didefinisikan sebagai selisih antara Kuartil Ke Tiga dengan Kuartil Pertama, disebut juga sebagai Hamparan dan disybolkan H.
H=Q_3-Q_1
29
Simpangan Kuartil
Didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan. Disebut juga renatang semi antar kuartil dan dilambangkan Q_d.
Q_d=1/2 H=1/2 〖(Q〗_3-Q_1)
Simpangan Rata-rata
Ragam dari suatu data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan rumus:
S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 〗
Simpangan Baku
S=√(S^2 )=√(1/n ∑_(i=1)^r▒〖f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 〗)
Contoh soal:
Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data dibawah ini:
Hasil pengukuran
(mm) Frekuensi
f_i
119-127 3
128-136 6
137-145 10
146-154 11
155-163 5
164-172 3
173-181 2
30
Jawab:
Hasil pengukuran
(mm) Frekuensi
f_i Titik tengah
x_i Frekuensi
f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2
119-127 3 123 3 568,8225 1706,4675
128-136 6 132 6 220,5225 1323,135
137-145 10 141 10 34,2225 342,225
146-154 11 150 11 9,9225 109,1475
155-163 5 159 5 147,6225 738,1125
164-172 3 168 3 447,3225 1341,9675
173-181 2 177 2 909,0225 1818,045
∑▒〖f_i=40〗 7379,1
Jadi ragam: S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 〗
S^2=1/40 ∑_(i=1)^40▒〖(7379,1)=184,48〗
Simpangan bakunya : S=√(S^2 )
S=√184,48
S=13,58
31
EVALUASI SOAL-SOAL
Jelaskan tentang Statistika?
Jelaskan tentang perbedaan data kontinui dan data diskrit?
Sebutkan teknik Pengumpulan data dan sebutkan kelemahan dan kelebihan masing-masing dari teknik tersebut?
Sebutkan ada berapa cara untuk menyajikan sebuah data?
Sebutkan dan jelaskan bagian-bagian utama dari sebuah grafik?
Sejumlah 75 calon , menemuh test seleksi dalam bidang study Bahasa Inggris. Setelah test berakhir diperoleh data sbb:
57 53 57 60 54 57 56 61 57 54
59 53 60 57 57 58 54 57 55 56
62 59 55 56 60 56 56 60 53 57
60 56 57 54 63 57 56 58 63 58
57 58 56 58 56 58 59 54 57 58
55 60 58 57 57 55 58 59 55 56
58 57 61 55 61 62 55 62 61 69
61 59 62 59 59
Tentukan: (a) table distribusi frekkuensi
(b) table distribusi frekuensi kumulatif
(c) polygon frrekuensi
6. Jelaskan yang dimaksud mean, modus dan median dan berikan rumus untuk pengerjaan data tunggal dan kelompok?
7. Dari soal no 5 hitunglah mean, modus dan mediannya
8. Dari soal no.5 hitunglah kuartil pertama, ke-2 dan ke-3?
9. Sebutkan rumus apa saja yang ada pada penyebaran data tunggal dan data kelompok?
32
DAFTAR PUSTAKA
Cunayah, Cucun dan Ronald H Sitorus. 2007. “Ringkasan Matematika”. Bandung: Yrama Widya
Malalina. 2011. “Penyajian Data”(online). www.yrmalalina.blogspot.com. 10 Juli 2011
Sudijono, Anas. 2008. “Pengantar Statistika Pendidikan”. Jakarta: PT Grafindo Raya
Sudjana. 2005. “Metoda Statistika”. Bandung: Tarsito
Suprijanto, Sigit. 2009. “Matematika Kelas XI Program IPA”. Bandung: Yudistira
Wirodikromo, Sartono. 2007. “Matematika Untuk SMA XI”. Jakarta: Erlangga
33
Minggu, 08 April 2012
karya qu
MAKALAH
TRIGONOMETRI
Di susun oleh:
Anisa Amalia 11310083
Pendidikan
Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
IKIP
PGRI SEMARANG
KATA
PENGANTAR
Alhamdullilahirobbilalamin
atas berkat rahmat Allah yang Maha Esa yang telah memberikan kesempatan kapada
kami agar kami dapat menyelesaikan tugas Trigonometri tentang Penerapan Trigonometri dalam
kehidupan sehari-hari sebagai salah satu tugas
dalam mengikuti pendidikan di Jenjang Perguruan Tinggi Swasta Institut Keguruan
dan Ilmu Pendidikan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi
Pendidikan Matematika. Tugas ini kami buat untuk media pembelajaran di
kelas yang akan ditunjukkan kepada mahasiswa dengan tujuan agar mahasiswa
mengerti dan memahami materi trigonometri.
Kami menyampaikan rasa terima
kasih kami kepada Dosen Pengampu Mata Kuliah Trigonometri yang telah memberikan
bimbingannya agar kami berlatih bekerja sama dalam menyelesaikan suatu Tugas
yang diberikan. Kami mengucapkan terimakasih
kepada para pembaca dan kami mengharapkan saran dan kritik untuk lebih
menyempurnakan tugas kami .
Semarang, 22 Maret 2012
Penulis
ii
DAFTAR ISI
Cover……………………………………………………………… i
Kata
Pengantar……………………………………………………. ii
Daftar
Isi………………………………………………………….. iii
BAB
I: PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang……………………………………….. 1
B.Rumusan
Masalah……………………………………. 1
C.Tujuan
Masalah………………………………………. 1
BAB
II: PEMBAHASAN
A.
Sejarah Trigonometri…………………………………. 2
B.
Penerapan Trigonometri dalam kehidupan
sehari-hari 3
BAB
III: PENUTUP
A.
Kesimpulan……………………………………………. 7
B.
Saran…………………………………………………… 7
DAFTAR
PUSTAKA
BAB I
A. Latar
Belakang
Dalam kehidupan
sehari-hari, matematika berperan sangat besar. Besarnya peran matematika
tersebut menuntut seseorang harus mampu menguasai pelajaran matematika.
Matematika sendiri tumbuh sebagai ilmu yang kaya akan berbagai teori.
Matematika sesungguhnya merupakan mata pelajaran yang melatih seseorang berpikir
kritis, kreatif, berfikir alternatif, berargumentasi ketat, menyatakan buah
pikirannya baik dalam lisan maupun tulisan secara sistematis, logis, dan lugas.
Dalam matematika juga dapat diajarkan pola berpikir deduktif.
Dalam makalah ini akan
dikaji materi Matematika tentang Trigonometri yang sangat erat sekali dalam
kehidupan sehari-hari. Walaupun sering sacara tidak sadar pola-pola
penghitungan Trigonometri melekat pada kehidupan sehari-hari kita tapi dalam
kenyataan Sistem Pembelajaran Trigonometri merupakan materi yang sulit untuk
dipahami. STOP!!! hentikan pola fikir anda semua yang seperti itu, dalam
makalah ini akan disajikan materi Trigonometri dalam kehidupan sehari-hari
sehingga dapat dengan mudah anda semua memahami materi ini.
B. Rumusan
Masalah
1. Bagaimana
sejarah Trigonometri?
2. Bagaimana
penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari?
C. Tujuan
Masalah
1. Untuk
mengetahui sejarah Trigonometri,
2. Untuk
bisa menjelaskan aplikasi penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.
1
BAB II
PEMBAHASAN
A. Sejarah
Trigonometri
Sebelum mengetahui tentang sejarah
Trigonometri alangkah baiknya bila kita mengetahui terlebih duhulu sejarah
mataematika, kerena Trigonometri adalah salah satu bagian dari Matematika itu
sendiri.
Konon sejarah Matematika mengatakan
bahwa Matematika berasal dari berbagai Bangsa yang bermukim disepanjang Sungai
yaitu bangsa Mesir yang yang hidup sekitar Sungai Nil di Afrika, Bangsa
Babilonia yang hidup disekitar sungai Tigris di Eufrad, dan Bangsa Hindu yang
hidup disekitar sungai Indus dan Gangga. Dari bangsa-bangsa tersebut dalam
kehidupan sehari-hari mereka membutuhkan perhitungan dan penanggalan yang bisa
dipakai sesuai musim. Mereka juga memikirkan cara untuk membuat alat-alat untuk
bercocok tanam, mengukur persil tanah dan persawahan.
Adanya peningkatan zaman membuat mereka
melakukan sistem perdagangan untuk memenuhi berbagai kebutuhan. Karena itu
mereka membuat tentang sistem kegiatan, keuangan, dan punngutan pajak.
Akhirnya muncullah berbagai argument
tantang sistem ini yang semakin lama mengalami perkembangan terbentuklah
Matematika.
Salah satu kajian yang dibahas dalam
Matematika adalah Trigonometri. Trigonometri didasarkan pada
pengkajian segitiga siku-siku merupakan
sebuah bentuk geometri yang berkembang dari study-study bintang.
Teorema-teorema mengenai perbandingan sisi-sisi segitiga sudah digunakan bangsa
Mesir dan Babilonia tetapi perbandingan-perbandingan yang saat ini kita gunakan
pertama kali ditetapakan sekitar tahun 150 SM oleh Hipparchus, yang menyusun
perbandingan-perbandingan itu dalam tabel-tabel dan menerapakan trigonometri
untuk menentukan letak kota diatas bumi dengan memakai garis lintng dan garis
bujur, sistem yang masih dipakai sekarang. Francois
Viete, ada akhir abad ke-16, menerapkan trigonometri dalam teori bilangan,
aljabar dan pada geometri, bahkan memakainya untuk menyelesaikan sebuah
persamaan pangkat tiga. Trigonometri mempunyai banyak penerapan praktis, misalnya: dalam teknik bangunan,
arsitektur, dan ilmu pelayaran. Trigonometri dipakai didalam
keadaan-keadaan dimana pengukuran tidak bisa dilakukan secara nyata, misalnya:
mencari jarak kesuatu bintang atau kesuatu pulau di lautan. Sudut-sudut di
dalam segitiga dan bangun-bangun lain memiliki banyak sifat yang tetap
besarnya, tidak masalah di manapun sudut itu ditemukan, terutama fungsi-fungsi
trigonometrinya, seperti sinus, cosines, dan tangen.
2
3
B. Penerapan
Trigonometri dalam kehidupan sehari-hari
Sadar atau tidak Trigonometri sering ada
didepan kita tanpa kita sadari, materi ini dianggap sulit karena ada berbagai
angka yang terlihat menakutkan. Sekarang marilah kita belajar Trigonometri
dengan menerapkan dalam kehidupan sehari-hari kita.
Kami akan mencontohkan trigonometri dalam
bentuk USAHA
Dalam kehidupan
sehari-hari, kata usaha dapat diartikan sebagai kegiatan dengan mengerahkan
tenaga atau pikiran untuk mencapai tujuan tertentu. Usaha dapat juga dipakai
sebagai pekerjaan untuk mencapai suatu tujuan tertentu.
Dalam trigonometri
pengertian usaha hampir sama dengan pengertian usaha dalam kehidupan
sehari-hari. Kesamaannya adalah dalam hal kegiatan dengan mengerahkan tenaga.
Disini saya akan
memberi contoh tentang penerapan usaha secara matematis:
Usaha yang Dilakukan
oleh gaya tetap:
Usaha yang dilakukan
oleh gaya tetap (besar maupun arahnya) didefinisikan sebagai hasil perkalian
antara perpindahan titik tangkapnya dengan komponen gaya pada arah perpindahan
tersebut.
Contohnya: ibaratkan seseorang menarik kotak pada
bidang datar dengan tali membentuk sudut α terhadap horizontal ,sedangkan gaya
F membentuk sudut α terhadap perpindahan..... dari soal tersebut menunjukkan
gaya tarik pada sebuah benda yang terletak pada bidang horizontal hingga benda
berpindah sejauh s sepanjang bidang. Jika gaya tarik tersebut dinyatakan dengan
F maka gaya F membentuk sudut α terhadap arah perpindahan benda.
Vektor gaya F diuraikan
menjadi dua komponen yang saling tegak lurus. Salah satu komponen yang searah
dengan perpindahan benda dan komponen yang lain tegak lurus dengan arah
perpindahan benda. Besar masing-masing komponen adalah F cos α dan F sin α.
Dalam hal ini melakukan usaha adalah komponen gaya F cos α. Besarnya adalah W=
(F cos α)
4
Komponen gaya F sin α dikatakan
tidak melakukan usaha, sebab tidak ada perpindahan ke arah komponen itu.
Dari besaran di atas
dapat dikatakan bahwa suatu usaha yang dilakukan oleh suatu gaya :
a. Berbanding lurus
dengan besarnya gaya
b. Berbanding lurus
dengan perbandingan benda
c. Bergantung pada
sudut antara arah gaya dan perpindahan benda
Astronomi
dan geografi
Secara historis Trigonometri, dikembangkan
untuk astronomi dan geografi, tetapi para ilmuwan telah menggunakannya selama
berabad-abad untuk keperluan lain juga. Selain bidang-bidang matematika,
trigonometri digunakan dalam fisika, teknik, dan kimia. Dalam matematika,
trigonometri digunakan dalam terutama dalam kalkulus (yang mungkin aplikasi
yang terbesar), aljabar linear, dan statistik. Karena bidang ini digunakan di
seluruh ilmu alam dan sosial, trigonometri adalah subjek yang sangat berguna
untuk mengetahui.
Tabel trigonometri diciptakan lebih dari dua
ribu tahun yang lalu untuk perhitungan dalam astronomi. Bintang-bintang
dianggap tetap pada bola kristal ukuran besar, dan model yang sempurna untuk
tujuan praktis. Hanya planet pindah bola. (Pada saat itu ada tujuh planet
diakui: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter, Saturnus, bulan, dan matahari Mereka
adalah planet-planet yang kita sebut hari-hari kami dalam seminggu setelah Bumi
belum dianggap.. sebuah planet karena itu adalah pusat alam semesta, dan
planet-planet luar tidak ditemukan kemudian) Jenis trigonometri diperlukan
untuk memahami posisi pada bola disebut trigonometri bola.. trigonometri
Bulat jarang diajarkan sekarang karena tugasnya telah diambil alih oleh aljabar
linear. Meskipun demikian, satu aplikasi dari trigonometri adalah astronomi.
5
Matematika
dan aplikasinya
Tentu saja, trigonometri
digunakan di seluruh matematika, dan, karena matematika diterapkan di seluruh
ilmu-ilmu alam dan sosial, trigonometri memiliki banyak aplikasi. Kalkulus,
aljabar linear, dan statistik, khususnya, menggunakan trigonometri dan memiliki
banyak aplikasi dalam semua ilmu.
Trigonometri, sebuah studi mendalam tentang segitiga dan fungsi, memiliki
banyak berakar pada aljabar. Seperti yang telah disebutkan, aljabar set
panggung untuk jumlah cabang matematika lainnya, tapi mungkin tidak ada yang
lebih dari trigonometri. Mereka cukup tak terpisahkan. Mereka seperti Batman
dan Robin. Selai kacang dan jelly. Lem super, sumpit, dan telapak tangan Anda.
(Apa? Anda mencoba memisahkan mereka Kita harus belajar dengan cara
yang keras..) Kami tidak akan terlalu jauh ke dalam konsep trigonometri dengan panduan ini, tetapi penting untuk menyadari saat kami membawa Anda melalui tumpang tindih besar antara keduanya. Kami menggabungkan aljabar dengan geometri untuk menemukan sisi ketiga dari segitiga ketika kita memiliki dua lainnya, dan kita bisa membangun konsep ini dengan trigonometri untuk menemukan dan grafik rasio sisi segitiga. Setiap persamaan kompleks yang tampak Anda bisa menemukan dalam trigonometri-seperti e x + iy = e x (cos y + i sin y), misalnya-yang menggunakan aljabar. Anda tidak bisa hanya menghafal hal ini, lulus tes atau dua, dan biarkan statistik bisbol mendorongnya keluar dari otak Anda.
Kunci segala sesuatu Anda akan belajar, dan menjaga kunci di tempat yang aman. Anda tidak mau harus gergaji besi jalan nanti
6
Sebuah percobaan sederhana dengan kacamata terpolarisasi
Misalkan satu mendapatkan dua pasang identik terpolarisasi
kacamata (kacamata terpolarisasi un tidak akan bekerja di sini), dan
menempatkan sebelah kiri lensa
dari satu pasang di atas lensa kanan lain, baik selaras identik. Jika satu
pasangan secara perlahan diputar, jumlah cahaya
yang masuk melalui diamati untuk mengurangi sampai dua lensa berada pada sudut kanan
satu sama lain, ketika cahaya tidak mendapatkan melalui. Bila sudut di mana
pasangan yang diputar adalah θ, apa pecahan dari cahaya yang menembus ketika
sudut adalah 0, mendapatkan melalui? Jawaban: itu cos 2 θ. Misalnya,
ketika sudut adalah 60 derajat, hanya 1/4 cahaya sebanyak menembus serangkaian
dua lensa seperti ketika sudut adalah 0 derajat, karena kosinus 60 derajat
adalah 1/2.
Trigonometri adalah studi tentang panjang dan sudut, dan hubungan mereka
Mengingat
panjang yang relevan dari sisi objek, sudut dalam dapat dengan mudah ditemukan,
dan sebaliknya. Operasi ini trigonometri dapat diperluas lebih lanjut untuk
sudut ganda dan penambahan trigonometri dan pengurangan. Penerapannya ini
sangat ditangani dalam elektronik dan rekayasa communciation, di mana sinyal
yang transparan untuk mata telanjang. TTO model ini sinyal transparan, ekspresi
trigonometri digunakan. Sinyal ini dapat dijelaskan oleh analisis Seri Fourier
yang menggunakan fungsi trigonometri. Studi gerakan gelombang dan kompresi
akhir-akhir ini, digital dan audio, juga contoh penggunaan trigonometri.
Studi rekayasa optik juga menggunakan trigonometri untuk menganalisa penetrasi jalan cahaya melalui kaca. Sudut kejadian di mana jalan cahaya masuk, dan refleksi ite, dapat diperoleh melalui bentuk penggunaan fungsi trigonometri.
Contoh
aplikasi trigonometri dalam teknik sipil di mana ia digunakan dalam menentukan
tinggi bangunan, dataran, bukit, pohon, dll
Contoh
lain dari aplikasi kehidupan nyata di tanah dan navigasi laut dimana lokasi
kendaraan harus ditentukan atau dihitung. .
BAB
III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Dari
sejarah matematika sampai sejarah Trigonometri kita telah mengetahui bahwa
sebenarnya Matematika dan Trigonometri muncul dari kebutuhan dan dalam
kehidupan sehari-hari, Trigonometri ada pula disekitar kita. Untuk itu
mempelajari Trigonometri sebenarnya hal yang sangat mudah. Mulai dari sekarang
tidak ada kata lagi bahwa kita belum mengerti tapi jika anda belum bisa karena
anda malas untuk mengetahui.
B.
Saran
Makalah
ini masih jauh dari kata sempurna, apabila masih ada salah pengetikan dan
kata-kata yang kurang berkenan kami mohon maaf. Kami mohon kritik dan saran
para pendengar dan pembaca.
Terimakasih
atas Perhatiannya.
7
DAFTAR
PUSTAKA
Faiz. “Aplikasi Trigonometri dalam kehidupan sehari-hari”(online). www.
faiizbook.blogspot.com
12
Desember 2011
Shine, Matkom Sun. “Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehar-hari”(online). www.matkommentari.blogspot.com. 25 April 2011
Wiridikromo, Sartono. 2004. Matematika Untuk SMA Kelas X”. Jakarta:Erlangga
SOAL
1.
Sebuah balaok bermassa 1,5 kg didorong
katas loh gaya konstan F=15 N pada bidang miring seperti pada gambar. Anggap
percepatan gravitasi (g) 10m/s dan gesekan antara balok dan bidang miring
nol.Usaha total yang dilakukan pada balok adalah…
A. 15
J
B. 30
J
C. 35J
D. 45J
E. 50J
JAWABAN: A
Pembahasan: karena benda hanya bergerak
sepanjang bidang miring, maka gaya yang dihitung hanyalah sepanjang bidang
miring saja, maka usaha total
2.
Sebuah peluru dengan masssa 20gram
ditembakkan pada sudut elevansi dan kecepatan 40 m/s seperti gambar. Jik
gesekan dengan udara dabaikan, maka energy
kinetic peluru pada titik tertinggi adalah…
A. 0
J
B. 4
J
C.
D. 12
J
E. 24
J
JAWABAN:
B
Pembahasan:
©
Pada titik maksimum digerak parabola
komponen kecepatan pada sumbu y adalah 0 (syarat max) maka kecepatan benda
hanyalah sumbu x saja.
©
Komponen kecepatan sumbu x selalu tetap
sepanjang gerak parabola yaitu :
©
Maka energy koinetik peluru dititik tertinggi adalah
3. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x)
adalah f ‘ (x) = …..
A. 35 sin (5 – 3x)
B. - 15 sin (5 – 3x)
C. 21 sin (5 – 3x)
D. - 21 sin (5 – 3x)
E. - 35 sin (5 – 3x)
Jawab :
* ingat
* maka: f(x)=7cos(
5-3x)
f’(x)=-7.(-3)
sin (5-3x)
=21 sin (5-3x)
4. Nilai dari = ….
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Perhatikanlah bentuk ini identik
dengan bentuk rumus nah kita dapat nyatakan dalam rumus
tersebut, didapat :
sin 2x + c
karena di pilihan ganda tidak ada
pilihannya, maka kita ingat rumus
sehingga : sin 2x+c
=3..2 sin x cos x+c
=3
sin x cos x+c
5. Turunan pertama dari adalah f ’ (x) =……
A.
-
B. –
C.
-
D.
-
E.
-
Jawab :
*
pengerjaannya hampir sama dengan soal no.4 kita misalkan terlebih dulu
* didapat kita pakai aturan rantai maka :
=4.
=4.
=-8.
ups….saat
kita cek di pilgan ternyata jawaban tersebut tidak ada pilihannya, so
lanjut ke next step ….
* ingat
bahwa
=
Langganan:
Postingan (Atom)