Selasa, 29 Mei 2012

STATISTIKA Dosen Pengampu : Bagus Ardy Saputro Disusun Oleh : Anisa Amalia (11310083) 2B FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI SEMARANG 2012 KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun ucapkan Atas kehadirat Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penyusunan tugas ini dapat diselesaikan. Tugas ini disusun untuk diajukan sebagai tugas mata kuliah Statistika dengan judul “STATISTIKA” di Istitut Keguruan dan Ilmu Pendidikan PGRI Semarang. Terima kasih penyusun sampaikan kepada Bapak Bagus Ardy Saputro, selaku dosen mata kuliah Statistika. Demikianlah tugas ini disusun semoga bermanfaat, agar dapat memenuhi tugas mata kuliah Statistika. Semarang, Mei 2012 Penyusun ii DAFTAR ISI Cover………………………………………………………………………………........ i Kata Pengantar…………………………………………………………………………. ii Daftar Isi……………………………………………………………………………….. iii Isi : Pengertian Statistika…………………………………………………………….. 2 Jenis-jenis Data dalam Statistika……………………………………………….. 3 Cara Pengumpulan Data……………………………………………………….. 4 Bentuk-bentuk Penyajian Data………………………………………………… 4 Ukuran Data…………………………………………………………………….. 5 Ukuran Penyebaran Data………………………………………………………. 6 Evaluasi Soal-Soal............................................................................................................... 32 Daftar Isi.............................................................................................................................. 33 iii STATISTIKA Jumlah penduduk yang terus menerus bertambah setiap tahun membuat pemerintah semakin sulit untuk mengawasi dan memperhatikan penduduk secara detail. Misalnya pemerintah akian melakukan penelitian mengenai usia wanita ketika menikah di provinsi di seluruh Indonesia. Jika kita membayangkan jumlah satu provinsi saja jumlah wanita yang menikah cukup banyak. Jadi, tidak mungkin Pemerintah melibatkan semua wanita di Indonesia yang telah menikah. Selain biaya yang dikeluarkan cukup besar, waktu yang dibutuhkan untuk penelitian pun cukup lama. Untuk menghindari hal tersebut, kita menggunakan statistika. Dengan statistic penelitian dapat dilakukan dengan lebih mudah. Hal ini disebabkan tidak perlu melibatkan seluruh wanita yang telah menikah di Indonesia, tetapi cukup melibatka beberapa provinsi yang dipilih secara acak. Dari setiap provinsi yang terpilih secara acak, dipilih lagi secara acak wanita yang telah menikah sebanyak yang kita inginkan. Wanita yang terpilih kemudian dilibatkan dalam penelitian dan disebut sebagai sampel acak. Wanita yang terpilih akan mewakili semua wanita yang telah menikah di seluruh Indonesia. Untuk mengolah data yang didapat dari hasil penelitian, akan lebih mudah jikamenggunakan statistika. Kita dapat mengetahui rata-rata usia wanita ketika menikah, kita juga dapat mengetahui usia berapa wanita palinga banyak menikah. Didalam statistika dipelajari pula penyebaran data diperoleh dalam suatu penelitian. 1 Pengertian Statistika dan Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika Pada pertengahan abad ke 20, pemakaian statistika mengalami kemajuan yang sangat pesat dengan diperkenalkannya anlisis variansi dalam literature Statistika oleh R. Fisher. Pada masa kini dengan pekembangan teori peluang kita dapat menggunakan metode statistika dalam bidang reset serta bidang pengetahuan lainya seperti: biologi, ekonomi, industry, dan perdagangan. Statistik dan Statistika sebenarnya tidak jauh berbeda, hanya saja Statistik yaitu suatu data yang menyatakan kumpulan data dalam bilangan atau non-bilangan dalam bentuk tabel atau diagram untuk melukisakan suatu persoalan Statistika yaitu melakukan pengumpulan, pengelolahan, penganalisisan, dan penarikan kesimpulan berdasarkan pengumpulan dan penganalisisan data. Dalam statistika dikenal pula beberapa istilah yang sering digunakan yaitu: Populasi yaitu keseluruhan dari semua data yang akan diteiti Sampel yaitu keseluruhan dari obyek data yang ada tetapi hanya diambil sebagian saja untuk penelitian Datum yaitu setiap keterangan yang diperoleh dari semua penelitian Data yaitu sekumpulan datum 2 Jenis-jenis Data Dalam Statistika Dalam dunia statistika dikenal berbagai jenis data yang biasa muncul dalam statistika, yaitu: Data cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah, membilang dan menyebut banyaknya obyek Data ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur besarnya obyek Data yang diperoleh berdasarkan keteranganya Data kauntitatif yaitu keterangan berupa angka. Data ini terbagi menjadi 2 variabel, yaitu: Variable kontinui: hasil dari pengukuran Variable diskrit:merupakan data diskrit atau menghitung Data kaulitatif yaitu keterangan yang berisi bukan angka. Data ini terbagi menjadi 2 data, yaitu: Data intern:data yang berasal dari factor dalam Data eksteren: data yang berasal karena factor luar Contoh: Nomor Petak Sawah Luas(m^2) Berat padi gabah kering(kg) Kkualitas padi gabah kering 1 2400 1800 Sedang 2 2200 1750 Baik 3 2700 2050 Sangat baik 4 4500 3460 Kurang 5 200 1520 Sedang 6 1700 1290 Baik 7 3100 2360 Kurang 8 3500 2740 Baik Data kkualitatif ditunjukan dengan keadaan gabah kering yang dinyatakan dengan kurang, sedang, baik dan sangat baik. Data kuantitatif ditunjukan dengan banyak petak sawah untuk masing-masing desadi llima desa yang ditempatkan untuk penelitian. 3 Cara Pengumpulan Data Sebelum mempelajari cara pengumpulan data, lebih baik kita mengetahui fase yang ada dalam statistika, yaitu: Statistika induktif yaitu statistika yang berhubungan dengan kondisi dimana kesimpulan diambil Statistika Deskriptif yaitu statistika yang hanya melukiskan atau menganalisis kelompok data yang diberikan tanpa membuat kesimpulan Pengumpulan data dalam statistika dapat dilakukan dengan cara mengadakan penelitian, mengambil dan menggunakan sampel atau populasi, dan mengadakan angket. Metode yang dilakukan bisa berupa: Sensus, metode yang diakukan dengan semua anggota termasuk sampel dikenai penelitian Sampling metode yang dilakukan dengan mengambil sebagian populasi yang diteliti Angket metode dengan pembuatan pertanyaan untuk diajukan kepada sasaran penelitian Teknik pengumpulan data Angket Angket adalah teknik pengumpulan data dengan menyerahkan atau mengirimkan daftar pertanyaan untuk diiisi sendiri oleh responden. Responden adalah orang yang memberikan tanggapan atas angket yang diajukan. Keuntungan dari teknik angket adalah: Angket dapat menjangkau sampel dalam jumlah besar karena dapat dikirimkan melalui pos. Biaya yang diperlukan untuk membuat angket relatif murah. Angket tidak terlalu menggangu respoden karena pengisiannya ditentukan oleh respoden sendiri sesuai dengan kesedian waktunya. 4  Kerugian teknik angket: Jika angket dikirimkan melalui pos, maka persentase yang dikembalikan relatuf rendah. Angket tidak dapat digunkan untuk respoden yang kurang bisa membaca dan menulis. Pertanyaan-pertanyaan dalam angket dapat ditafsirkan salah dan tidak ada kesempatan untuk mendapat penjelasan. Wawancara Wawancara adalah pengumpulan data dengan mengajukan pertanyaan secara langsung oleh pewawancara kepada responden, dan jawaban-jawaban responden dicatat atau direkam dengan alat perekam. Keuntungan wawancara adalah: Wawancara dapat digunakan pada responden yang tidak bisa membaca dan menulis. Jika ada pertanyaan yang belum dipahami, pewawancara dapat segera menjelaskannya. Wawancara dapat mengecek kebenaran jawaban responden denagn mengajukan pertanyaan pembanding, atau dengan melihat wajah atau gerak-gerik responden. Kerugian wawancara adalah: Wawancara memerlukan biaya yang sangat untuk perjalanan dan uang harian pengumpulan data. Wawancara hanya dapat menjangkau jumalh responden yang lebih kecil. Kehadiran pewawancara mungkin menggangu responden. Observasi Observasi atau pengamatan kegiatan adalah setiap kegiatan untuk melakukan pengukuran, pengamatan dengan menggunakan indera penglihatan yang berarti tidak mengjukan pertanyaan-pertanyaan. Keuntungan observasi adalah: Data yang diperoleh adalah data yang segar. Keabsahan alat ukur dapat diketahui secara langsung. Kerugian observasi adalah: Untuk memperoleh data y ng diharapkan, maka pengamat harus menunggu dan mengamati sampai tingkah laku yang diharapkan terjadi. Beberapa tingkah laku, bahkan bisa membahayakan jika diamati. 5 Berdasarkan keterlibatan pengamatan dalam kegiatan-kegiatan orang yang diamati, observasi dapat dibedakan menjadi: Observasi partisipan ( partcipant observation): pengamat ikut serta dalam kegiatan-kegiatan yang dilakukan oleh subjek yang diteliti atau yang diamati. Observasi tak partisipasi (nonparticipant observation): pengamat berada di luar subjek yang diamati dan tidak ikut dalam kegiatan-kegiatan yang mereka lakukan. Berdasarkan cara pengamatan yang dilakukan, observaasi juga dibedakan menjadi dua bagian: Observasi tak berstruktur: pengamat tidak membawa catatan tingkah laku apa saja yang secara khusus akan diamati. Observasi berstruktur: peneliti memusatkan perhatian pada tingkah laku tertentu sehingga dapat dibuat pedoman tetang tingkah laku apa saja yang harus diamati. Study dokumentasi Studi dokumentasi merupakan teknik pengumpulan data yang tidak langsung ditujukan kepada subjek penelitian. Dokumen dapat dibedakan menjadikan dokumena primer ( dokumen yang ditullis oleh orang yang langsung mengalami suatau peristiwa), dan dokumen sekunder (jika peristiwa dilaporkan kepada orang lain yang selanjutnya ditulis oleh orang ini) contohnya otobiografi. Keuntungan studi dokumentasi adalah: Untuk subjek penelitian yang sukar, studi dokumentasi dapat memberikan jalan untuk melakukan penelitian Tak kreatif. Karena studi dokumentasi tidak dilakukan secara langsung dengan orang, maka data yang diperlukan tidak terpengaruh oleh kehadiran peneliti atau pengumpulan data. Analisis longitudinal, menjangkau jauh ke masa lalu Besar sampel. Dengan dokumen-dokumen yang tersedia, teknik ini memungkinkan untuk mengambil sampel yang lebih besar karena biaya yang diperlukan relatif kecil. 6 Kerugian studi dokumentasi adalah: Bias, karena dokumen yang dibuat tidak untuk kep[erluan penelitian, maka data yang tersedia mungkin bias Tersedia secra selektif. Tidak semua dokumen dipelihara untuk dapat dibaca ulang oleh orang lain. Tidak lengkap. Karena tujuan penulisan dokumen berbeda dengan tujuan penelitian. Format yang tidak baku. Sejalan dengan maksud dan tujuan penulisan dokumen yang berbeda dengan tujuan penelitian, maka formatnya juga dapat bermacam-macam sehingga bisa mempersulit pengumpulan data. Sebagaimana metode historik, dalam studi dokumentasi perlu dilakukan kritik tehadap sumber data, baik kritik internal maupun kritik eksternal. Bentuk-Bentuk Penyajian Data Dalam Statistika Dengan Daftar Daftar Baris Kolom Tabel data, disingkat tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori-kategori tertentu, dalam suatu daftar. Dalam tabel, data disusun dengan cara alfabetis, geografis, menurut besarnya angka, historis, atau menurut kelas-kelas yang lazim. Sebuah tabel memuat bagian-bagian sebagai berikut : Kepala tabel Kepala tabel memuat : - Nomor tabel - Judul tabel (mungkin termasuk tahun dan/atau unit) Leher tabel Leher tabel memuat keterangan atau judul kolom (mungkin termasuk unit) yang harus ditulis singkat dan jelas 7 Badan tabel Badan tabel memuat data (mungkin termasuk tahun) Kaki tabel Kaki tabel memuat : - Keterangan-keterangan tambahan - Sumber data, yaitu sumber yang menjelaskan dari mana data itu dikutip atau diambil Contoh : Dalam penyusunan tabel, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut : Judul tabel dibuat singkat dan jelas. Bila perlu diberikan keterangan yang dicantumkan di kaki tabel Judul atau kepala kolom dibuat ringkas. Jika ada penjumlahan data dalam baris dimuat pada kolom terakhir. Apabila jumlah kolom banyak, dapat diberi nomor. Pencatuman unit ukuran tidak boleh dilupakan. Jika dianggap perlu, data dapat dikelompok-kelompokkan. Kelompok data yang akan dibandingkan, diletakkan berdekatan.Penjumlahan data dalam kolom dimuat pada baris paling bawah. Keterangan di bawah dimuat untuk memberi penjelasan mengenai judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel Sumber data dicantumkan untuk mengetahui dari mana data yang bersangkutan diperoleh dan jika perlu dapat diadakan pengecekan dari sumber aslinya. Data untuk bidang tertentu dapat diperoleh dari Biro statistik, Bank Indonesia, Departemen Keuangan. Contoh bentuk baris kolom Hasil Pengamatan Banyaknya Kendaraan yang melintasi Tikungan setiap menit Banyak kendaraan 0 1 2 3 4 5 6 7 8 peluang 0,01 0,05 0,10 0,28 0,22 0,18 0,08 0,05 0,03 8 Daftar Kontingensi Adalah tabel yang menunjukkan atau memuat data sesuai dengan rinciannya. Apabila bagian baris tabel berisikan baris dan bagian kolom tabel berisikan kolom maka didapatkan tabel kontingensi berukuran. Yang dimaksud disini adalah jumlah bais dan kolom pada data yang disajikan lewat tabel. Contoh : Tabel Banyaknya Murid Sekolah di Daerah XYZ Menurut Tingkat Sekolah dan Jenis Kelamin Tahun 2000 Jenis Kelamin SD SMP SMA Jumlah Laki-laki 4758 2795 1459 9012 Perempuan 4032 2116 1256 7404 Jumlah 8790 4911 2715 16416 Dari data diatas terlihat bahwa daftar Kontinensinya adalah 2X3 ( 2 baris X 3 kolom ). Daftar Distribusi Frekuensi Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa kelas XI berikut ini. 66 75 74 72 79 78 75 75 79 71 75 76 74 73 71 72 74 74 71 70 74 77 73 73 70 74 72 72 80 70 73 67 72 72 75 74 74 68 69 80 dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi sbb: Langkah-langkahnya sbb: Mencari Rentang=data terbesar-data terkecil = 80-65 =15 Banyaknya kelas=1+3,3 log n = 1+3,3 log 40 =1+3,3 1,608 =1+5,286 =6,286 Interval kelas P=rentang/(banyak kelas) =15/6,286 =2,38 9 Dari data diatas dapat dibuat tabel sbb: Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut Interval Kelas Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini. 65 – 67 → Interval kelas pertama 68 – 70 → Interval kelas kedua 71 – 73 → Interval kelas ketiga 74 – 76 → Interval kelas keempat 77 – 79 → Interval kelas kelima 80 – 82 → Interval kelas keenam Lebar kelas Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus: Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3. Titik Tengah Untuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus: Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah) Dari tabel di atas: titik tengah kelas pertama = 1/2(67 + 65) = 66 titik tengah kedua = 1/2(70 + 68) = 69 dan seterusnya. Dengan Diagram Diagram Batang Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah. Perhatikan contoh berikut ini. 10 Contoh soal Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah sebagai berikut. Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang. Penyelesaian Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut. Diagram Garis Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. 11 Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut. Diagram Lingkaran Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. 12 Contoh soal Ranah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan seperti tabel berikut. Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran. Penyelesaian Sebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut. CPNS/Honda/GTT = 5/100 x 360° = 18° Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 9/100 x 360° = 32,4° Masalah lingkungan/kebersihan = 6/100 x 360° = 21,6 Kesehatan/PKMS/Askeskin = 3/100 x 360° = 10,8 Lalu lintas/penertiban jalan = 6/100 x 360° = 21,6° Revitalisasi/budaya Jawa = 20/100 x 360° = 72° Parkir = 3/100 x 360° = 10,8° Pekat/penipuan/preman = 7/100 x 360° = 25,2° Persis/olahraga = 10/100 x 360° = 36° PKL/Bangunan liar = 2/100 x 360° = 7,2° PLN dan PDAM = 2/100 x 360° = 7,2° Provider HP = 7/100 x 360° = 25,2° Tayangan TV/radio/koran = 3/100 x 360° = 10,8° Lain-lain = 17/100 x 360° = 61,2° 13 Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut. Diagram Peta Diagram peta (diagram kartogram) yaitu diagram yang melukiskan fenomena atau keadaan dihubungkan dengan tempat kejadian itu berada. Teknik pembuatannya digunakan peta geografis sebagai dasar untuk menerangkan data dan fakta yang terjadi. Salah astu contoh ketika kita melihat buku peta bumi yang terdapat peta daerah/pulau dengan mencantumkan gambar-gambar kelapa, jagung, kuda, sapi ,dan lain-lain Diagram Pencar Diagram pencar atau diagram titik atau diagram sebaran ialah diagram yang menunjukkan gugusan titik – titik setelah garis koordinat sebagai penghubung dihapus. Biasanya diagram ini digunakan untuk menggambarkan titik data korelasi atau regresi yang terdiri dari variabel bebas dan variabel terikat. Untuk kumpulan data yang terdiri atas dua variable dengan nilai kuantitatif, diagramnya dapat dibuat dalam sistem sumbu koordinat dan gambarnya akan merupakan kumpulan titik-titik yang terpancar.Tahapan-tahapan ini menerangkan setelah peneliti menyelesaikan analisis datanya dengan cermat, kemudian langkah selanjutnya peneliti menginterprestasikan hasil analisisnya. Akhirnya peneliti menarik suatu kesimpulan yang berisikan intisari dari seluruh rangkaian kegiatan penelitian dan membuat rekomendasinya. Menginterprestasikan hasil analisis perlu diperhatikan hal-hal antara lain : interprestasi tidak melenceng dari hasil analisis, interprestasi harus masih dalam batas kerangka penelitian, dan secara etis penelitian rela mengemukakan kesulitan dan hambatan-hambatan sewaktudalam penelitian 14 Dengan Grafik HISTOGRAM Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan sebagai berikut. POLIGON Poligon Frekuensi Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnyadihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini. 15 contoh soal: Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi. Penyelesaian Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut. Poligon Frekuensi Kumulatif Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di atas. a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari. b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun. 16 OGIVE Ogive ialah distribusi frekuensi kumulatif yang menggambarkan diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar atau eksponensial. KARTOGRAM Kartogram atau peta statistik adalah grafik data berupa peta yang menunjukkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil pertambangan, dan sebagainya. UKURAN DATA UKURAN PEMUSATAN DATA Nilai statistic yang menggambarkan keadaan suatu data antara lain mean, modus dan median adalah ukuran pemusatan data. Karena bentuk penyajian data terdiri dari penyajian data tunggal dan penyajian data kelompok maka penyajian rumus-rumus ukuran pemusatan data pun dibedakan menjadi 2, sbb: 17 UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL Mean yaitu perbandingan semua nilai data dengan banyak data Dirumuskan sbb: rataan=(jumlah semua nilai datum)/(banyaknya datum) x ̅=(∑_(i=1)^n▒x_i )/n Modus yaitu nilai data yang paling sering muncul atau mempunyai frekuensi terbesar Median yaitu suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil samapi yang terbesar. Jika ukuran data n ganjil maka mediannya nilai data yang ditegah Me=1/2 n Jika ukuran data n genap maka Me=1/2(x_(n/2)+x_(n/2+1)) Contoh soal: Hitunglah rataan dari data 4,5,6,7,8,10,10,10 Jawab: ∑_(i=1)^8▒〖x_i=4+5+6+7+8+10+10+10=60〗 Banyaknya nilai yaitu n=8 Maka x ̅=1/n ∑_(i=1)^8▒〖x_i=1/8 (60)=7,5〗 Nilai rata-rata Ujian Matematika dari 39 mahasiswa adalah 45 Jikia nilai Opick salah seorang mahasiswa lainya digabungkan dengan kelomppok tersebut maka rata-ratanya menjadi 46. Ini berarti nilai Ujian Opick… 18 Jawab: misalkan n_1=39,(x_1 ) ̅=45,dan x ̅ = 46 Nilai Ujian Opick=x x ̅=1/n ∑_(i=1)^(n_1)▒〖X_i⇔〗 45= 1/39 ∑_(i=1)^39▒X_I ∑_(I=1)^39▒〖X_i=45 x 39〗=1755,jumlah nilai 39 mahasiswa adalah 1,755 x ̅=(∑_(i=1)^39▒〖X_i-x〗)/(n_1+1) ⇔46=(1755+x)/(39+1) ⇔1755+x=46(39+1) ⇔ x=(46 x40)-1755 ⇔ x=85 Jadi nilai Ujian OPick adalah 85 Suatu data 3,4,4,5,5,6,6,6,7,7 modusnya adalah Jawab: modus adalah nilai yang sring muncul maka dari dat diatas modusnya 6 Tentukan median dari data 12,11,7,8,6,13,9,10 Jawab: dari data diatas diurutkan terlebih dahulu menjadi 6,7,8,9,10,11,12,13, median yaitu nilai tengah dari semua data, karena jumlah data 8 maka nili tengahnya antara data ke-4 dan data ke-5 yaitu antara 9 dan 10 maka medianya 1/2 (9+10)=9,5 Dari data 8,9,7,8,5,6,7,9,10,9 mediannya adalah Jawab:dari data diatas diurutkan menjadi 5,6,7,7,8,8,9,9,9,9,9,10 diketahui jumlah data adalah 11, karena n ganjil maka mediannya X_((n+1)/2) = x_((11+1)/2=) X_6 Jadi mediannya adalah data ke yaitu 8 19 UKURAN PEMUSATAN DATA KELOMPOK Mean Apabila nilai data kuantitatif dinyatakan dengan x_1,x_2,x_3,….,x_n dan setiap datum mempunyai frekuensi f_1,f_2,f_3,…,f_n maka rataan hitungnya ditentukan dengan: x ̅=(∑_(i=1)^n▒〖f_i x_i 〗)/(∑_(i=1)^n▒f_i ) Masih terdapat dua cara lagi yaitu dengan cara simpangan rataan dan cara pengkodean Cara simpangan rataan x ̅=(x_S ) ̅+(∑_(i=1)^k▒f_i d_i)/(∑_(i=1)^k▒f_i ) Keterangan: (x_s ) ̅=rataan sementara d_(i=) simpangan x_i terhadap (x_S ) ̅ d_i=x_i-x ̅_S Cara pengkodean x ̅=(x_S ) ̅+((∑_(i=1)^k▒f_i u_i)/(∑_(i=1)^k▒f_i ))c Keterangan: c=panjang kelas interval u_i=kode u_i=(x_i-(x_S ) ̅)/c 20 Modus M_O=t_b+(d_1/(d_1+d_2 ))c Keterangan: t_b= tepi bawah kelas modus d_1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d_2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya Median M_e=t_b+((1/2 n-f_k)/f)c Keterangan: t_b= tepi bawah kelas median n= banyaknya data f_k= frekuensi kumulatif sebelum kelas median f= frekuensi kelas median Contoh soal: Tentukan rataan dari data yang disajikan pada daftar distribusi frekuensi tersebut: Hasil pengukuran (mm) Titik tengah x_i Frekuensi f_i f_i.x_i 119-127 123 3 369 128-136 132 6 792 137-145 141 10 1410 146-154 150 11 1650 155-163 159 5 795 164-172 168 3 504 173-181 177 2 354 ∑▒〖f_i=n=40〗 ∑▒〖f_i x_i=5874〗 Jadi rataan dari data diatas adalah x ̅= (∑▒f_i x_i)/(∑▒f_i )= 5874/40=146,85 21 Dari tabel dibawah ini cari modusnya Nilai Titik tengah x_i Frekuensi f_i 55-59 57 6 60-64 62 8 65-69 67 16 70-74 72 10 75-79 77 6 80-84 82 4 Jawab: - kelas modusnya 65-69 (karena mamiliki frekuensi terbesar yaitu 16), tepi bawahnya L=64,5 , tepi atasnya U=69,5 seinggga panjang kelasnya c=U-L = 59,5-64,5 = 5 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d_1=16-8=8 dan selisih kelas modus denga kelas sesudahnya d_2= 16-10 = 6 M_O=t_b+(d_1/(d_1+d_2 ))c = 64,5 +(8/(8-6))5 =67,36 (selisih sampai 2 angka dibelakang koma) Dari daftar dibawah carilah mediannya Nilai f_i 31-40 1 41-50 2 51-60 5 61-70 15 71-80 25 81-90 20 91-100 12 Jumlah 80 Setengah dari seluruh data ad 40 buah. Jadi mediannya dapat dicari dengan: M_e=t_b+((1/2 n-f_k)/f)c = 70,5 + ((40-23)/25) 10 =77,3 22 UKURAN LETAK DATA KUARTIL yaitu nilai yang membagi data manjadi empat bagian sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Data tunggal Untuk statistika jajaran dengan ukuran data n>4 dapat ditentukan 3 buah nilai yang membagi statistic jajaran itu menjadi 4 baagian yang sama, yaitu: Kuartil pertama(Q1), mempartisi data menjadi 1⁄4 bagian Kuaartil kedua(Q2), mempartisi data menjadi 1⁄2 bagian Kuartil ketiga(Q3) mempartisi data menjadi 3⁄4 bagian x_1 Q_1 Q_2 Q_3 x_n Contoh: tentukan kuartil pertama, kuartil kedua dan kuartil ketga dari data: 1,3,6,9,14,18,21 Jawab: x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 3 6 9 14 18 21 Ukuran data n = 7 (ganjil) sehingga Kuartil pertama = Q_1=X_2=3 Kuartil kedua = Q_2= X_((7+1)/2)= x_4=9 Kuartil ketiga = Q_3= x_6=18 Data kelompok Kuartil pertama= Q_1=L_1+((1/4 n-〖(∑▒f)〗_1)/f_1 )c Dengan L_1= tepi bawah kelas yang memuat kuartil pertama 〖(∑▒f)〗_(1=) jumlah frekuensi sebelum kelas pertama f_1= frekuensi kelas yang memuat kuartil kelas pertama 23 Kuartil kedua= Q_2=L_2+((1/2 n-〖(∑▒f)〗_2)/f_2 )c Dengan L_2= tepi bawah kelas yang memuat kuartil kedua 〖(∑▒f)〗_(2=) jumlah frekuensi sebelum kelas kedua f_2= frekuensi kelas yang memuat kuartil kelas kedua Kuartil ketiga=〖 Q〗_3=L_3+((3/4 n-〖(∑▒f)〗_3)/f_3 )c Dengan L_3= tepi bawah kelas yang memuat kuartil ketiga 〖(∑▒f)〗_(3=) jumlah frekuensi sebelum kelas ketiga f_3= frekuensi kelas yang memuat kuartil kelas ketiga Contoh soal: Tentukan nilai kuartil pertama,kuartil kedua dan kuartil ketiga untuk data berkelompok dibawah ini: Hasil pngukuran (mm) Titik tengah x_i Frekuensi f_i 119-127 123 3 128-136 132 6 137-145 141 10 146-154 150 9 155-163 159 7 164-172 168 3 173-181 177 2 1/4 n = 1/4 (40) = 10 , L_1=136,5 , (∑▒F)_I=9 ,f_i=10 dan c=9 Jadi kuartil pertama adalah : Q_1=L_1+((1/4 n-〖(∑▒f)〗_1)/f_1 )c = 136,5 +((10-9)/10)9 = 137,4 24 1/2 n = 1/2 (40) = 20 , L_2=145,5 , (∑▒F)_2=19 ,f_2=9 dan c=9 Jadi kuartil kedua adalah : Q_2=L_2+((1/2 n-〖(∑▒f)〗_2)/f_2 )c = 145,5 +((20-9)/9)9 = 146,5 3/4 n = 3/4 (40) = 30 , L_3=154,5 , (∑▒F)_3=28 ,f_3=7 dan c=9 Jadi kuartil ketiga adalah : Q_3=L_3+((3/4 n-〖(∑▒f)〗_3)/f_3 )c = 154,5 +((30-28)/7)9 = 157,07 DESIL yaitu nilai yan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak setelah diurutkan dari yang terkeci hingga terbesar Untuk data tunggal D_i terletak pada nilai ke- (i(n+1))/10 Setelah itu cari desil dengan D_k=x_k+d(x_(k+1)-x_k) Untuk data kelompok D_i=t_b+((i/10 n-f_k)/f)c Keterangan: D_i= desil ke i t_b= tepi bawah kelas D_i n= ukuran data f_k= frekuensi kumulatif sebelum kelas D_i f= frekuensi kelas yang memuat D_i c= panjang kelas 25 Contoh soal: Diketahui suatu dat 2,9 ; 3,5 ; 5,1 ; 5,7 ; 2,1 ; 4,0 ; 4,7 ; 2,5 ; 2,4 ; 5,3 ; 4,8 ; 4,3 ; 2,7 ; 3,4 ; 3,7 tentukan desil pertama dan desil kelima Jawab: pertama-tama urutkan data terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar sbb: 2,1 2,4 2,5 2,7 2,9 3,4 3,5 3,7 4,0 4,3 4,7 4,8 5,1 5,3 5,7 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7 x_8 x_9 x_10 x_11 x_12 x_13 x_14 x_15 Perhatikan bahwa jumah semua data adalah n=15 Desil pertama terletak pada nilai ke- (i(n+1))/10 - (1(15+1))/10= 1,6 Perhatikan nilai urutan yang besarnya 1,6 nilai ini terletak anatara 1 dan 2 sehngga k=1 dan k+1=2 bagian desimalnya d=0,6 D_k=x_k+d(x_(k+1)-x_k ) D_1=x_1+d(x_2-x_1 )=2,1+0,6(2,4-2,1)=2,28 Jadi desil pertamanya adalah 2,28 Desil kelima terletak pada nilai urutan ke- (i(n+1))/10 (5(15+1))/10=8 Oleh karena nilai urutan ke-5 adalah 8 merupkan bilangan asli maka tidak perlu interpolasi. Jadi Desil ke-5 adalah nilai x_8=3,7 Hasil pengukuran tinggi badan 100 mahasiswa adalah sbb, carilah desil ke-4 nya Tinggi badan (cm) Frekuensi f 150-154 6 155-159 19 160-164 40 165-169 27 170-174 8 4/10 n=4/10 (100)=40,t_b=159,5,〖(∑▒f)〗_4=25,f_4=40,c=5 D_4=159,5+((40-25)/40)5=161,375 26 PERSENTIL Untuk Data Tunggal Letak P_i=data ke-(i(n+1))/100 Untuk Data Kelompok P_i=b+p((i/100 n-F)/f) Keterangan: b= batas bawah kelas P_I, ialah kelas interval P_i terletak P= panjang kelas P_i F= jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecildaripada tanda kelas P_i f= frekuensi kelas P_i UKURAN PENYEBARAN DATA Ukuran Penyebaran Data Tunggal Rentangan Rentangan atau jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil J=x_(max-) x_min Hamparan Hamparan dengan symbol H yaitu selisih antara Kuartil ke tiga dengan kuartil pertama H=Q_3-Q_1 Simpangan Kuartil Nama lainya yaitu Jaangkauan Semi Antar Kuartil yaitu setengah kali panjang hamparan Q_d=1/2(Q_3-Q_1) Simpangan Rata-rata menyatakan jarak rata-rata suatu data terhadap rataannya SR=1/n ∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ | Keterangan: n= banyak data x_i= nilai data ke-i x ̅= rataan hitung 27 Ragam menyatakan rata-rata kuadrat jarak suatu data teerhadap rataannya S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 Simpangan Baku yaitu standar deviasi suatu data S=√(S^2 )= √(1/n ∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 ) Contoh soal: Dari hasil pengukuran terhadap 14 bola dengan diameter sama adalah sbb: 7,0 ; 5,6 ; 6,1 ; 7,2 ; 6,9 ; 6,7 ; 5,4 ; 6,0 ; 6,5 ; 5,7 ; 6,2 ; 6,3 ; 5,9 ; 6,6 tentukan: Rentang Rentang antar kuartil Simpangan kuarrtil Jawab: urutkan data diatas sesuai urutan dari yang terkecil sampai terbesar sbb: 5,4 ; 5,6 ; 5,7 ; 5,9 ; 6,0 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,5 ; 6,6 ; 6,7 ; 6,9 ; 7,0 7,2 Rentagnya : J=x_(max-) x_min J=7,2-5,4=1,8 Rentang antar kuartil H=Q_3-Q_1 H=6,7-5,9=0,8 Simpangan kuartil Q_d=1/2(Q_3-Q_1) Q_d=1/2 (6,7-5,9) = 1/2 0,8 = 0,4 Tentukan ragam dan simpangan baku untuk data: 10, 44, 56, 62, 65, 67, 72, 76 tentukan ragam dan simpangan bakunya 28 Jawab: nilai rataan nya adalah x ̅=1/7 ∑_(i=1)^7▒x_i = 1/7 (10+44+56+62+65+72+76)=55 Jumlah kuadrat setiap simpanganya : ∑_(i=1)^7▒〖〖(x_i-x ̅)〗^2 〖=(x_1-x ̅)〗^2+〖(x_2-x ̅)〗^2+〖(x_3-x ̅)〗^2+〖(x_4-x ̅)〗^2+〖(x_5-x ̅)〗^2+〖(x_6-x ̅)〗^2+〖(x_7-x ̅)〗^2 〗 〖=(10-55)〗^2+〖(44-55)〗^2+〖(56-55)〗^2+〖(62-55)〗^2+〖(65-55)〗^2+〖(72-55)〗^2+〖(76-55)〗^2 =3026 Ragam S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 S^2=1/7 ∑_(i=1)^7▒〖(x_i-x ̅)〗^2 =1/7 (3026)=432,29 Simpangan baku S=√(S^2 )= √(1/n ∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 ) S=√(S^2 ) S= √3026 S = 20,79 Ukuran Penyebaran Data Kelompok Rentangan Antar Kuartil Rentang Antar Kuartil atau Jangkauan Antar Kuartil didefinisikan sebagai selisih antara Kuartil Ke Tiga dengan Kuartil Pertama, disebut juga sebagai Hamparan dan disybolkan H. H=Q_3-Q_1 29 Simpangan Kuartil Didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan. Disebut juga renatang semi antar kuartil dan dilambangkan Q_d. Q_d=1/2 H=1/2 〖(Q〗_3-Q_1) Simpangan Rata-rata Ragam dari suatu data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan rumus: S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 〗 Simpangan Baku S=√(S^2 )=√(1/n ∑_(i=1)^r▒〖f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 〗) Contoh soal: Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data dibawah ini: Hasil pengukuran (mm) Frekuensi f_i 119-127 3 128-136 6 137-145 10 146-154 11 155-163 5 164-172 3 173-181 2 30 Jawab: Hasil pengukuran (mm) Frekuensi f_i Titik tengah x_i Frekuensi f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 119-127 3 123 3 568,8225 1706,4675 128-136 6 132 6 220,5225 1323,135 137-145 10 141 10 34,2225 342,225 146-154 11 150 11 9,9225 109,1475 155-163 5 159 5 147,6225 738,1125 164-172 3 168 3 447,3225 1341,9675 173-181 2 177 2 909,0225 1818,045 ∑▒〖f_i=40〗 7379,1 Jadi ragam: S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒〖f_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 〗 S^2=1/40 ∑_(i=1)^40▒〖(7379,1)=184,48〗 Simpangan bakunya : S=√(S^2 ) S=√184,48 S=13,58 31 EVALUASI SOAL-SOAL Jelaskan tentang Statistika? Jelaskan tentang perbedaan data kontinui dan data diskrit? Sebutkan teknik Pengumpulan data dan sebutkan kelemahan dan kelebihan masing-masing dari teknik tersebut? Sebutkan ada berapa cara untuk menyajikan sebuah data? Sebutkan dan jelaskan bagian-bagian utama dari sebuah grafik? Sejumlah 75 calon , menemuh test seleksi dalam bidang study Bahasa Inggris. Setelah test berakhir diperoleh data sbb: 57 53 57 60 54 57 56 61 57 54 59 53 60 57 57 58 54 57 55 56 62 59 55 56 60 56 56 60 53 57 60 56 57 54 63 57 56 58 63 58 57 58 56 58 56 58 59 54 57 58 55 60 58 57 57 55 58 59 55 56 58 57 61 55 61 62 55 62 61 69 61 59 62 59 59 Tentukan: (a) table distribusi frekkuensi (b) table distribusi frekuensi kumulatif (c) polygon frrekuensi 6. Jelaskan yang dimaksud mean, modus dan median dan berikan rumus untuk pengerjaan data tunggal dan kelompok? 7. Dari soal no 5 hitunglah mean, modus dan mediannya 8. Dari soal no.5 hitunglah kuartil pertama, ke-2 dan ke-3? 9. Sebutkan rumus apa saja yang ada pada penyebaran data tunggal dan data kelompok? 32 DAFTAR PUSTAKA Cunayah, Cucun dan Ronald H Sitorus. 2007. “Ringkasan Matematika”. Bandung: Yrama Widya Malalina. 2011. “Penyajian Data”(online). www.yrmalalina.blogspot.com. 10 Juli 2011 Sudijono, Anas. 2008. “Pengantar Statistika Pendidikan”. Jakarta: PT Grafindo Raya Sudjana. 2005. “Metoda Statistika”. Bandung: Tarsito Suprijanto, Sigit. 2009. “Matematika Kelas XI Program IPA”. Bandung: Yudistira Wirodikromo, Sartono. 2007. “Matematika Untuk SMA XI”. Jakarta: Erlangga 33

Tidak ada komentar:

Posting Komentar